وبلاگ دانشجویان برق

حل معادلات دیفرانسیل با متلب

متلب امکانات زیادی را برای حل معادلات دیفرانسیل و دستگاه های معادلات دیفرانسیل در اختیار شما می گذارد. در این جا یک دستور پرکاربرد را معرفی میکنم که برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی (ode) به كار مي رود.

دستور dsolve به راحتي معادلات ديفرانسيل با هر مرتبه اي را براي شما حل مي كند. ابتدا خوب است مثالي از حل يك معادله ديفرانسيل ساده را با آن ببينيد:

>> dsolve('Dy+2*x=0','x')

با اجراي دستور بالا متلب پاسخ زير را مي دهد:
ans =

C1 - x^2

براي دادن معادله به تابع dsolve بايد نكات زير را در نظر داشته باشيد:

١. كل معادله بايد داخل علامت هاي ' ' قرار بگيرد. براي بقيه پارامترهاي دستور هم بايد اين قانون رعايت شود.

2. پارامتر دوم دستور‏ متغير مستقل معادله را مشخص مي كند (كه در مثال بالا x است). جواب متلب همان متغير وابسته (تابع مجهول) است (در مثال بالا پاسخ برابر y است). ضمنا اگر متغير مستقلي مشخص نكنيد متلب حرف t را به عنوان متغير مستقل فرض خواهد كرد.

3. مشتق يك تابع را بايد با حرف D (بزرگ) نشان دهيد به طوري كه نام تابع بلافاصله بعد از آن بيايد (مثل Dy كه به معني مشتق y نسبت به x است). مشتق هاي مرتبه دوم به بعد را به صورت D3y,D2y و... وارد كنيد. مثل بقيه قسمت هاي متلب علامت ضرب بايد حتما با * مشخص و توان با ^ مشخص شود و پرانتزها و ديگر علائم هم رعايت شوند.

٤. C در پاسخ داده شده يك ثابت است كه معمولا يك شماره هم همراه آن است تا از ثابت هاي قبلي متمايز شود.

5. اگر معادله داراي شرايط اوليه است آن را هم ميتوانيد به متلب بدهيد. به اين شكل كه شرط اوليه به عنوان پارامتر دوم (و اگر چند شرط باشد به عنوان پارامترهاي بعد) به دستور داده ميشود. مثلا ' 2 = (0)y ' را به عنوان شرط اوليه مي توان به نرم افزار داد.

در ادامه چند مثال ديگر از دستور dsolve را ملاحظه ميكنيد:

>>dsolve('Dy+2*t=t^2','y(0)=2','t')

>> dsolve('D2y+5*Dy+3*y=10','Dy(0)=20','y(0)=0')

>>dsolve('Dy+10*y=5*x','x')

دستور dsolve معادلات را به شيوه سيمبوليك (جبري) حل مي كند. متلب دستورات قوي اي هم براي حل معادلات ديفرانسيل به شيوه محاسبات عددي دارد. مقاله زير حل انواع معادلالت ديفرانسيل با متلب را به طور كامل آموزش مي دهد:

http://www.cs.rice.edu/~nakhleh/COMP572/Papers/matode.pdf

+ نوشته شده در یکشنبه ۲۷ فروردین ۱۳۹۱ ساعت ۲:۵۶ ب.ظ توسط امیرحسین احمدیان |

آموزش سریع رسم نمودار (سیگنال ها) با متلب

دوستانی که درس تجزیه و تحلیل سیستم ها رو این ترم دارن حتما به رسم توابع و سیگنال ها با متلب نیاز پیدا میکنن. به همین خاطر تصمیم گرفتم به طور خلاصه توضیحاتی درباره رسم نمودار در متلب خدمتتون بدم.

مهمترین دستوراتی که در متلب برای رسم سيگنال ها استفاده میشوند plot و stem هستند. اولي براي رسم سيگنال هاي پيوسته و دومي براي سيگنال هاي گسسته مناسب است. اين توابع دو آرگمون ورودي دارند كه اين ورودي ها بايد بردار باشند. طرز كار اين دستورات ساده است:

وقتي دستور plot x,y را اجرا مي كنيد متلب مقدارهاي درايه هاي بردار x را روي محور افقي و مقدارهاي بردار y را روي محور عمودي قرار مي دهد. سپس مختصات هر نقطه از نمودار به اين شكل تعيين مي شود كه درايه ها نظير به نظير به عنوان مختصات (X و Y) نقاط در نظر گرفته مي شوند. يعني نقطه m ام با مختصاتي به شكل X مساوي "درايه m ام بردار x " و ‎Y مساوي "درايه m ام بردار y "رسم خواهد شد. مثلا اگر 5 امين درايه بردار x برابر 3 و 5امين درايه y برابر 10.5 باشد نقطه اي در مختصات X=3 و ‎Y=10.5 رسم خواهد شد. در دستور plot همه اين نقاط به هم متصل مي شود و در دستور stem به صورت ميله اي گسسته رسم ميشوند و نهايتا نمودار نمايش داده مي شود. به بیان فنی تر هر جفت از درایه های دو بردار مذکور یک نمونه از سیگنال را می سازند. براي مثال چند نمونه از سيگنال هاي معروف را رسم ميكنيم.

سيگنال ضربه واحد زمان-گسسته

همانطور که میدانید این سیگنال خیلی ساده است و فقط به ازای n=0 مقداری برابر یک و در بقیه نقاط مقدار صفر دارد. يك بردار به نام n را به عنوان ورودي (محور افقی) و برداري به نام y را به عنوان خروجي (محور قائم) ايجاد ميكنيم. براي ایجاد n كافي است يك بردار از اعداد صحيح مثلا از 10- تا 10 با گام (فاصله) ١ بسازيم (مقدار اولین درایه و فاصله مقادیر و مقدار آخرین درایه به ترتیب با علامت دونقطه مشخص میشوند). از آن جا كه فقط يك نمونه در بردار y (به ازاي n=0) داريم‏ ابتدا y را با درايه هاي صفر ميسازيم به طوری که اندازه (تعداد درایه) آن با n یکسان باشد (این کار را با دستور zeros انجام میدهیم). بعد درايه وسط y را مساوي ١ قرار مي دهيم (زیرا در بردار n درایه با مقدار صفر در وسط قرار میگیرد بنابراین درایه متناظر آن در y هم در وسط است) . در پايان با دستور stem سيگنال را رسم ميكنيم. برای اجرای این مثال کد زیر را در متلب وارد کنید:

>> n=-10:1:10 ;
>> y=zeros(1,21) ;
>> y(1,11) = 1 ;
>> stem(n,y)

سیگنال سینوسی پیوسته

بردار ورودی را با نام t ایجاد میکنیم. در اصل این بردار باید یک بازه پیوسته باشد اما چون در متلب باید یک بردار با درایه های متناهی داشته باشیم برداری با تعداد زیاد درایه ایجاد میکنیم تا به حالت پیوسته نزدیک باشد. این بردار را با دستور linspace ایجاد میکنیم (در این جا 500 درایه برایش در نظر میگیریم. کمترین مقدار آن را 50- و بیشترین را 50 تعیین میکنیم تا نمودار در این بازه رسم شود). بردار خروجی به راحتی با تابع sin ایجاد می شود (کافی است t را به عنوان آرگمون به آن بدهیم). در آخر با plot نمودار را رسم میکنیم.

>> t = linspace(-50,50,500) ;
>> y = sin(2*t) ;

>> plot(x,y)

سیگنال پله واحد زمان-پیوسته

این سیگنال را هم در همان بازه 50- تا 50 رسم خواهیم کرد. بنابراین بردار ورودی می تواند همان بردار ورودی مثال قبل باشد. بردار y را به عنوان خروجی با درایه های صفر ایجاد میکنیم. سپس همه درایه های بعد از درایه وسط (که متناظر با t=0 است) را مساوی 1 قرار می دهیم. توجه کنید این کار با یک دستور (با استفاده از علامت دو نقطه برای تعیین بازه) امکان پذیر است.

>> t = linspace(-50,50,500) ;
>> y = zeros(1,500) ;
>> y(251:500) = 1 ;
>> plot(t,y) ;

نمودارهایی که با کدهای گفته شده رسم میشود در ساده ترین شکل ممکن است. دستورات مختلفی در متلب وجود دارد که توسط آن ها میتوانید نمودارهای خود را زیباتر و دقیق تر کنید (مثلا با تغییر مقیاس و تغییر رنگ ها). یادگیری آن ها را به شما واگذار میکنم.

+ نوشته شده در دوشنبه ۱۵ اسفند ۱۳۹۰ ساعت ۲:۵۷ ب.ظ توسط امیرحسین احمدیان |